Линейное уравнение с одной переменной — это равенство вида ax + b = 0, где a и b — числа (коэффициенты), а x — переменная, причём a ≠ 0. Если a = 0, уравнение перестаёт быть линейным и либо не имеет корней, либо имеет их бесконечно много.
📐 Как решить: пошаговая инструкция
- Перенос неизвестных в одну сторону. Все слагаемые с x собираем слева, числа — справа, меняя знак при переносе.
- Приведение подобных. Упрощаем обе части: складываем коэффициенты при x и свободные числа.
- Избавление от коэффициента. Делим обе части уравнения на коэффициент a (если a ≠ 1). Именно здесь деление на ноль недопустимо!
- Проверка. Подставляем найденный корень в исходное уравнение. ✏️
📊 Примеры с решениями
| Уравнение | Ход решения | Корень | Проверка |
|---|---|---|---|
| 2x + 4 = 0 | 2x = -4; x = -4 / 2 | x = -2 | 2·(-2) + 4 = 0 ✅ |
| 5x — 15 = 0 | 5x = 15; x = 15 / 5 | x = 3 | 5·3 — 15 = 0 ✅ |
| -3x + 9 = 0 | -3x = -9; x = (-9) / (-3) | x = 3 | -3·3 + 9 = 0 ✅ |
| 7x = 21 | x = 21 / 7 | x = 3 | 7·3 = 21 ✅ |
| 0.5x — 1 = 0 | 0.5x = 1; x = 1 / 0.5 | x = 2 | 0.5·2 — 1 = 0 ✅ |
| 4(x — 2) = 0 | 4x — 8 = 0; 4x = 8; x = 2 | x = 2 | 4·(2 — 2) = 0 ✅ |
| 2x + 3 = 5x — 6 | 2x — 5x = -6 — 3; -3x = -9; x = 3 | x = 3 | 2·3+3=9, 5·3-6=9 ✅ |
⚠️ Три возможных исхода
- Один корень. Классический случай: a ≠ 0. Всегда получаем x = -b / a.
- Нет корней. После упрощения возникает противоречие, например 0 = 5 (уравнение 0x + 5 = 0).
- Бесконечно много корней. Обе части тождественно равны: 0 = 0 (уравнение 0x + 0 = 0). 🔁
📜 Историческая справка. Линейные уравнения решали ещё в Древнем Египте и Вавилоне (ок. 2000 г. до н. э.). В папирусе Ахмеса встречаются задачи вида «куча и её четверть дают 15» (по сути x + ¼x = 15). Термин «алгебра» появился в IX веке благодаря труду аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где систематически излагались правила переноса и приведения подобных. Современная символика с использованием x сформировалась в XVI–XVII веках благодаря Виету и Декарту.
📖 Энциклопедия: Линейное уравнение — уравнение, степень многочлена в котором равна единице. В общей алгебре линейным называют уравнение, задающее аффинную гиперплоскость. Простейший вид для многих переменных: a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ + b = 0. Решение — нахождение всех значений переменных, при которых равенство обращается в верное. Свойства: можно прибавлять/вычитать число к обеим частям, умножать/делить на ненулевое число — уравнение останется равносильным. Метод Гаусса используется для систем линейных уравнений.
❔ FAQ: смежные вопросы
- Что такое корень уравнения?
- Значение переменной, при котором уравнение становится верным числовым равенством.
- Всегда ли линейное уравнение имеет решение?
- Нет. Если после упрощения получаем неверное равенство типа 0 = 5, корней нет.
- Как графически интерпретировать линейное уравнение с одной переменной?
- Его можно представить как точку пересечения прямой y = ax + b с осью x (y = 0). 📈
- Можно ли решить уравнение с дробями?
- Да, умножьте обе части на общий знаменатель, затем решайте как обычное линейное.
- В чём разница между линейным уравнением и линейной функцией?
- Линейная функция — выражение вида y = kx + b. Линейное уравнение получается, если приравнять функцию к нулю или другому выражению.
